Bom Dia Cesar,

Você tem razão.

Foi o que eu percebi.

Depois de procurar muito consegui encontrar algumas orientações apenas em livros.

Mas estou usando como principal referência o livro:

[Como fazer experimentos, 2001] Benício de Barros Neto, Ieda Spacino Scarminio, e Roy Edward Bruns. Copyright © 2001. 85-268-0544-4. Editora da Unicamp. Como fazer experimentos: pesquisa e desenvolvimento na ciência e na indústria, 2001.

Vou explicar a estratégia que estou usando com um exemplo simples: um experimento com os fatores Temperatura (T) e Agitação (A) visando otimizar como resposta o Rendimento R.

Depois eu comento minhas dúvidas com o planejamento que já tenho.

1 - monto a matriz de planejamento com variáveis codificadas


T   A    R
1   1 
1  -1
-1  1
-1 -1

2 - Depois a “Tabela de Planejamento com Variáveis Codificadas” é convertida na “Tabela de Coeficientes de Contraste” acrescentando uma coluna de “uns” à esquerda para o cálculo da média das respostas (M), e à direita é acrescentada a coluna correspondente à interação entre Temperatura e Agitação (interação TA) que corresponde aos produtos, elemento a elemento, dos códigos das colunas T e A:

M T A  TA
1  1   1   1
1  1  -1  -1
1  -1  1  -1
1  -1 -1   1

3 - Depois de fazer os experimentos tenho a matriz X (Tabela de Coeficientes de Contraste) e a matriz linha Y com os Rendimentos e calculo a matriz B com os coeficientes do modelo usando a equação:

B = (XtX)-1 XtY

4 - A próxima etapa é avaliar a significância estatística dos coeficientes do modelo para identificar quais efeitos principais e interações são significativas.
Nessa etapa eu prefiro usar o "intervalo de confianção" para fazer essa avaliação com a equação:

bi ± tn − p × (Erro Padrão de bi)

 Mas preciso estimar o "erro padrão" para cada coeficiente.

5 - Então eu uso a matriz de covariância com a equação:

V(b) = (XtX)−1 σ2

Reutilizo a matriz (XtX)−1 que já foi usada para o cálculo dos coeficientes do modelo.

E σ2 (erro experimental) é substituída pela estimativa da variância s2 dos rendimentos obtidos, por exemplo, em 3 replicatas no ponto central.

E a matriz de planejamento fica:

T   A    R
1   1 
1  -1
-1  1
-1 -1

0   0

0   0

0   0

Multiplicando a matriz (XtX)−1 pela pela estimativa do erro experimental s2 dos rendimentos obtidos, por exemplo, em 3 replicatas no ponto central, e tirando a raiz quadrada dos elementos da diagonal principal da matriz V(b), obtenho os erros padrão dos parâmetros (sb0, sb1 ...).

Mas para o cálculo do intervalo de confiança para cada parâmetro usamos o valor de t para n-p graus de liberdade:

Onde onde n = número de linhas da matriz X (experimentos) e p = número de parâmetros do modelo

Com a equação:

bi ± tn − p × sbi

E verifico se inclui ou não o zero.

Pelo que entendi eu poderia estimar a variância das observações (σ2 - erro experimental) de três maneiras diferentes:

1 - Através da Média Quadrática dos Resíduos da tabela Anova

2 - Considerando os efeitos de interação de mais alta ordem (Ex: interações de três ou mais fatores) como flutuações (ruídos) embutidos nas respostas e utilizá-los para estimar o erro experimental nos valores dos modelos

3 - Usando o desvio padrão das replicatas no ponto central.

Mas  no meu caso concreto, tenho um planejamento com 4 variáveis que geraram 16 experimentos que já foram realizados "sem replicatas".

Portanto eu não tenho como usar a Média Quadrática dos Resíduos da tabela Anova porque os experimentos não foram feitos em replicatas e portanto não tenho como calcular os resíduos.

E os valores das interações de mais alta ordem dos 16 experimentos que já fiz não são muito diferentes dos valores de alguns efeitos principais ou de segunda ordem.

Por isso a minha decisão de fazer alguns experimentos no ponto central.

Você teria algum comentário a fazer sobre a estratégia que estou seguindo?

Poderia usar os resultados do ponto central e refazer o cálculo do modelo com a matriz X no formato?

M T A  TA
1  1   1   1
1  1  -1  -1
1  -1  1  -1
1  -1 -1   1
1   0   0   0
1   0   0   0
1   0   0   0

Obrigado pela atenção,
Nei


Em 03-11-2019 12:08, Cesar Rabak por (R-br) escreveu:
Esse assunto está menos para tutorial e mais para livro texto.

Qual obra de referência você está usando para consultar sobre Planejamento de Experimentos?


On Sat, Nov 2, 2019 at 10:33 PM Nei por (R-br) <r-br@listas.c3sl.ufpr.br> wrote:
Prezados e Prezadas,

Estou estudando Planejamento Fatorial Completo de 2 níveis.

Fiz um planejamento completo para 4 fatores em 2 níveis e para isso fiz
16 experimentos (2^4), sem replicatas.

Agora pretendo fazer 3 replicatas no ponto central para estimar o desvio
padrão e a partir daí calcular o intervalo de confiança e avaliar a
significância dos parâmetros  do modelo.

Mas estou com dificuldades para encontrar um tutorial explicando como
calcular o erro padrão e como definir o número de graus de liberdade
para o valor de t para poder calcular o intervalo de confiança.

Alguém saberia me dar uma dica?

Obrigado,

Nei


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