Karen,
A dúvida que você coloca é um pouco mais básica que somente as funções do pacote lme, você deve ou consultar um estatístico ou tomar uma referência sobre a modelagem e ajuste dos modelos de regressão que está usando.
De plano, é possível sugerir que o Intercept dá-lhe o valor-p com a informação mais trivial possível, pois é o valor-p contra a hipótese nula que o intercepto fosse nulo (igual a zero no modelo).
Olhando com atenção você verá que o pacote usou o intercepto para calcular os efeitos do seu Controle. Os outros valores-p são calculados contra a hipótese nula do efeito ser zero (ou seja as diferenças indicadas na coluna "Value").
Formalmente, então a resposta seria a seguinte: você usará os quatro valores-p para explicar os seus resultados, o do intercepto, por ser trivial, poderia ser não mencionado, e os outros três discutidos sobre os tratamentos.
Fecho este post reiterando que você deve fazer o investimento de consultar uma pessoa que lhe possa orientar no uso da modelagem que está fazendo ou pesquisar em uma obra de referência.
HTH
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Cesar Rabak